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Exercices Algèbre – Fractions rationnelles + Correction | Changement de variable – Décomposition en éléments simples

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par Erwin BORD

Thèmes :

4 exercices : Décomposition en éléments simples sur R ou C.

Extrait :

Décomposer en éléments simples sur R ou C 23 fractions rationnelles.

Exercices Algèbre – Fractions rationnelles + Correction | Changement de variable – Décomposition en éléments simples

Fractions rationnelles
Exercice 1. 1. D´ecomposer \frac { { X }^{ 3 }-3{ X }^{ 2 }+X-4 }{ X-1 } en ´el´ements simples sur ℝ.
2. D´ecomposer \frac { { 2X }^{ 3 }+{ X }^{ 2 }-X+1 }{ { X }^{ 2 }-3X+2 } en ´el´ements simples sur ℝ.
3. D´ecomposer \frac { { 2X }^{ 3 }+{ X }^{ 2 }-X+1 }{ { X }^{ 2 }-2X+2 } en ´el´ements simples sur ℝ.
4. D´ecomposer \frac { { X }^{ 4 }+{ 2X }^{ 2 }+1 }{ { X }^{ 2 }-1 } en ´el´ements simples sur ℝ
5. D´ecomposer \frac { { X } }{ { X }^{ 2 }-4 } en ´el´ements simples sur ℝ.
6. D´ecomposer \frac { { { X }^{ 5 }+{ X }^{ 4 }+1 } }{ { X }^{ 3 }-X } en ´el´ements simples sur ℝ.
7. D´ecomposer \frac { { { X }^{ 5 }+{ X }^{ 4 }+1 } }{ { X(X }-1{ ) }^{ 4 } } en ´el´ements simples sur ℝ.
8. D´ecomposer \frac { { { X }^{ 5 }+{ X }^{ 4 }+1 } }{ { (X }-1{ ) }^{ 3 }(X+1{ ) }^{ 2 } } en ´el´ements simples sur ℝ.
9. D´ecomposer \frac { { { X }^{ 7 }+3 } }{ ({ X }^{ 2 }+X+2{ ) }^{ 3 } } en ´el´ements simples sur ℝ.
10. D´ecomposer \frac { { (3-2i)X-5+3i } }{ { X }^{ 2 }+iX+2 } en ´el´ements simples sur ℂ.
11. D´ecomposer \frac { { X+i } }{ { X }^{ 2 }+i } en ´el´ements simples sur ℂ.
12. D´ecomposer \frac { { X } }{ { (X }+i{ ) }^{ 2 } } en ´el´ements simples sur ℂ.
13. D´ecomposer \frac { { { X }^{ 2 }+1 } }{ { X }^{ 4 }+1 } en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
14. D´ecomposer \frac { { { X } } }{ { X }^{ 4 }+1 } en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
15. D´ecomposer \frac { { { { X }^{ 2 }+X+1 } } }{ { X }^{ 4 }+1 } en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
16. D´ecomposer \frac { { { { X }^{ 5 }+X+1 } } }{ { X }^{ 4 }-1 } en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
17. D´ecomposer \frac { { { { X }^{ 5 }+X+1 } } }{ { X }^{ 6 }-1 } en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
18. D´ecomposer en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
19. D´ecomposer X
(X2+1)(X2+4) en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
20. D´ecomposer \frac { { { { X } } } }{ ({ X }^{ 2 }+1)({ X }^{ 2 }+4{ ) } } en ´el´ements simples sur ℝ et sur ℂ.
Exercice 2. D´ecomposition en ´el´ements simples \Phi =\frac { 2{ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }-6x+1 }{ 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 } }
Exercice 3. D´ecomposition en ´el´ements simples \Phi =\frac { 2{ x }^{ 5 }+{ 8x }^{ 3 }+8{ x }^{ 2 }-4x+1 }{ { x }^{ 3 }{ (x }-1{ ) }^{ 2 } }
Exercice 4. D´ecomposition en ´el´ements simples \Phi =\frac { 4{ x }^{ 6 }-2x^{ 5 }+11{ x }^{ 4 }-{ x }^{ 3 }+11{ x }^{ 2 }+2x+3 }{ { x }{ ({ x }^{ 2 }+ }1{ ) }^{ 3 } }
Indications 2. Attention il y a une partie enti`ere, la fraction s’´ecrit
\Phi =x+1+\frac { 4{ x }^{ 2 }-6x+1 }{ 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 } }
Indications 3. Il y a une partie enti`ere qui vaut 2.
Correction 1. \frac { { x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+x-4 }{ x-1 } ={ X }^{ 2 }-{ 2X-1-\frac { 5 }{ X-1 } }
2. \frac { { 2x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x-1 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } ={ 2X+7-\frac { 3 }{ X-1 } }+\frac { 19 }{ X-2 }
3. \frac { { 2x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-x+1 }{ { x }^{ 2 }-2x+1 } ={ 2X+5+\frac { 3 }{ (X-1{ ) }^{ 2 } } }+\frac { 7 }{ X-1 }
4. \frac { { x }^{ 4 }+{ 2x }^{ 2 }+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } ={ { X }^{ 2 }+3+\frac { 2 }{ X-1 } }+\frac { 2 }{ X+1 }
5. \frac { { x } }{ { x }^{ 2 }-4 } ={ \frac { 1/2 }{ X-2 } }+\frac { 1/2 }{ X-2 }
6. \frac { { { x }^{ 5 }+{ x }^{ 4 }+1 } }{ { x }^{ 3 }-x } ={ { X }^{ 2 }+X+1-\frac { 1 }{ X } }+\frac { 1/2 }{ X+1 } +\frac { 3/2 }{ X-1 }
7. \frac { { { x }^{ 5 }+{ x }^{ 4 }+1 } }{ { x(x }-1{ ) }^{ 4 } } ={ 1+\frac { 1 }{ X } +\frac { 3 }{ (X-1{ ) }^{ 4 } } }+\frac { 6 }{ (X+1{ ) }^{ 3 } } +\frac { 10 }{ (X-1{ ) }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ X-1 }
8. \frac { { { x }^{ 5 }+{ x }^{ 4 }+1 } }{ { (x }-1{ ) }^{ 3 }(x+1{ ) }^{ 2 } } ={ 1+\frac { 3/4 }{ (X-1{ ) }^{ 3 } } +\frac { 3/2 }{ (X-1{ ) }^{ 2 } } }+\frac { 37/16 }{ X-1 } -\frac { 1/8 }{ (X+1{ ) }^{ 2 } } -\frac { 5/16 }{ X+1 }
9. \frac { { { x }^{ 7 }+3 } }{ { ({ x }^{ 2 }+x+2{ ) }^{ 3 } } } ={ X-3+\frac { 7X+13 }{ ({ X }^{ 2 }+X+2{ { ) }^{ 3 } } } -\frac { 7X+21 }{ ({ X }^{ 2 }+X+2{ { ) }^{ 2 } } } }+\frac { 14 }{ { X }^{ 2 }+X+2{ } }

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