Exercices Algèbre – Espaces Vectoriels + Correction | Dimension – Somme directe

Thèmes :

Partie 1 – ( 3 exercices ): Dimension / Sous espace vectoriel
Partie 2 – ( 5 exercices ): Vecteur / Sous espace vectoriel
Partie 3 – ( 4 exercices ): Somme directe / Vecteur / Sous espace vectoriel

Extrait :

Définition, sous-espaces

Exercice 1. Déterminer lesquels des ensembles E1 , E2 , E3 et E4 sont des sous-espaces vectoriels de R3 . Calculer leurs dimensions.

Exercice 2. Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous espaces vectoriels.

Exercice 3. Soit E un espace vectoriel (sur R ou C).
1. Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que F ? G est un sous-espace vectoriel de.
2. Soient H un troisième sous-espace vectoriel de E. Prouver que

Systèmes de vecteurs

Exercice 4. Soient dans R4 les vecteurs. Peut-on déterminer x et y pour que ?

Exercice 5. Dans R4 on considère l’ensemble E des vecteurs (x1 , x2 , x3 , x4 ) véri?ant x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L’ensemble E est-il un sous espace vectoriel de R4 ? Si oui, en donner une base.

Exercice 6. Soient E et F les sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par les vecteurs.

Exercice 7. Peut-on déterminer des réels x, y pour que le vecteur appartienne au s.e.v. engendré dans R4 par le système

Exercice 8. Soit une famille libre.

Somme directe

Exercice 9. Soient des vecteurs de R4 . Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justi?er votre réponse. Vect{e4 ,e5} est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{e1,e2,e3} dans R .

Exercice 10. On considère les vecteurs dans R4 .
1. Vect{v1 , v2 } et Vect{v3 } sont-ils supplémentaires dans R4 ?
2. Même question pour Vect{v1 , v3 , v4 } et Vect{v2 , v5 }.

Exercice 11. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.