Exercices Algèbre – Espaces Vectoriels de dimensions finis + Correction | Base – Dimension

Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Base / Famille libre / Famille génératrice / Espace vectoriel / Vecteurs colinéaires
Partie 2 – ( 4 exercices ): Espace vectoriel / Vecteur / Dimension / Rang

Extrait :

Exercice 1.
Montrer que les vecteurs suivants forment une base de R3 . Calculer les coordonnées respectives des vecteurs suivants dans cette base. Exercice 2.
1. Montrer que les vecteurs x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1) et x3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver dans cette base les composantes du vecteur x = (1, 1, 1).
2. Donner, dans R3 , un exemple de famille libre, qui n’est pas génératrice.
3. Donner, dans R , un exemple de famille génératrice, mais qui n’est pas libre.
Exercice 3. Vrai ou faux ?
On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension finie.
1. Si les vecteurs x, y, z sont deux à deux non colinéaires, alors la famille x, y, z est libre.
2. Soit (x1 , x2 , . . . , xp) une famille de vecteurs. Si aucun n’est une combinaison linéaire des autres, la famille est libre.
Exercice 4.
Dans R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent.
1. v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, -1), v3 = (-1, 1, -1).
2. v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, -1), v3 = (1, 8, 13).
3. v1 = (1, 2, -3), v2 = (1, 0, -1), v3 = (1, 10, -11).
Exercice 5.
1. Montrer qu’on peut écrire le polynôme suivant sous la forme suivantes (calculer a, b, c, d réels), et aussi sous la forme suivante
2. Soit l’espace vectoriel des polynômes de degré 3. Vérifier que les ensembles suivants sont des bases de P3 :
B1 = {1, X, X 2 , X 3 },
B2 = {1, 1-X, X-X 2 , X 2 -X 3 },
B3 = {1, 1+X, 1+X+X 2 , 1+X+X 2 +X 3 }.

Exercice 6.
Déterminer pour quelles valeurs de t les vecteurs suivants forment une base de R .
Exercice 7.
1. Montrer que les vecteurs w1 = (1, -1, i), w2 = (-1, i, 1), w3 = (i, 1, -1) forment une base de C3 .
2. Calculer les composantes de w = (1 + i, 1 – i, i) dans cette base.