Examen Algèbre + Correction | Base – Déterminant

Thèmes :

Question de cours: Espace vectoriel
Exercice 1: Vecteur / Déterminant / Système / Base
Exercice 2: Espace vectoriel / Fonction / Variable / Fonction exponentielle / Fonction cosinus hyperbolique / Fonction sinus hyperbolique / Famille libre / Base / Matrice de passage
Exercice 3: Base canonique / Application linéaire / Matrice / Application linéaire / Base
Exercice 4: Ker(f) / Im(f) / Image / Noyau / Théorème du rang
Exercice 5: Résoudre une équation dans le corps des complexes
Exercice 6: Résoudre un système linéaire

Extrait :

Question de cours Soit K un corps commutatif, V un K-espace vectoriel.

1. Rappeler la définition de sous-espace vectoriel de V .
2. Montrer que si W1 et W2 sont deux sous-espaces de V , alors l’intersection W1 ∩ W2 est aussi un sous-espace vectoriel de V . Considérons trois vecteurs de R3.

Exercice 1. A l’aide d’un calcul de déterminant, donner une condition nécessaire et suffisante pour que le système β = (v1 , v2 , v3 ) soit une base de R3 .

Exercice 2. On considère le R-sous-espace vectoriel E de C(R, R) engendré par les fonctions exponentielle et g : x → exp(−x). On considère le R-sous-espace vectoriel F de C(R, R) engendré par les fonctions c : x → cosh(x) (cosinus hyperbolique) et s : x → sinh(x) (sinus hyperbolique).
1. Montrer que l’ensemble des fonctions {f, g} est libre. Remarque : {f, g} est donc une base d’un espace vectoriel. Soit C(R, R) le R-espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles continues.
2. Montrer que l’ensemble des fonctions {c, s} est libre. Remarque : {c, s} est donc une base de l’espace vectoriel F .
3. Montrer que c ∈ E et que s ∈ E. Remarque : on déduit que F ⊂ E.
4. Montrer que E = F .
5. Donner la matrice de passage P de la base {f, g} dans la base {c, s}.
6. Exprimer la fonction u : x → 2 cosh(x) − 3 sinh(x) dans la base {f, g}.
7. Exprimer la fonction v : x → 2 exp(x) − 3 exp(−x) dans la base {c, s}.

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