Examen Algèbre | Endomorphisme – Matrice de passage

Thèmes :

Exercice 1: Inclusion / Intersection / Réunions / Injection / Application
Exercice 2: Décomposition en éléments simples
Exercice 3: Espace vectoriel / Matrices / Bases
Exercice 4: Endomorphisme / Base canonique / Matrices

Extrait :

Exercice (5 points)
Soient A et B deux parties d’un ensemble E, U et V deux parties d’un ensemble F et f une application de E dans F.
1) Montrer que :
a) Si U ⊂ v alors f⁻¹(U) ⊂ f⁻¹(v).
b) f⁻¹(U ∪ V) = f⁻¹(U) ∪ f⁻¹(v).
c) f⁻¹(U ∩ V) = f⁻¹(U) ∩ f⁻¹(v).
d) , où X désigne le complémentaire de X dans Y.
2) Montrer que si f est injective alors f (A ∩ B) = f (A) ∩ f(B).

Exercice 2 (4 points)

Décomposer en éléments simples, dans ℝ(X), la fraction rationnelle A(X) =
Exercice 3 (5 points)

Soit E l’espace vectoriel sur ℝ des matrices carrées d’ordre 2 à coefficient réels.

On pose A =
1) Donner une base de E. Quelle est la dimension de E ?
2) Soit M = un élément de E. Calculer les produits AM et MA.

3) On note F l’ensemble des matrices M de E telles que AM = MA. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E. Donner une base de F. Quelle est la dimension de F ?

4) On pose avec λ ∈ ℝ. Déterminer en fonction du paramètre λ l’ensemble des
matrices M ∈ E telles que AM — MA =

Exercice 4 (6 points)
Soit (φ l’endomorphisme de ℝ³ muni de sa base canonique B = {e₁, e₂, e₃}, défini par :
φ(e₁) = 5e₁ + e₂ + 2e₃ ; φ(e₂) = 3e₁ + 3e₂ + 2e₃ ; φ(e₃) = 3e₁ – e₂ + 6e₃

1) Donner la matrice A de φ dans la base canonique B de ℝ³.

2) Soient les vecteurs de ℝ³ : u = et v = et w = (coordonnées dans la base canonique). Montrer que B’ = {u, v, w) est une base de ℝ³ Donner la matrice de passage P de B a B‘. Calculer son inverse P⁻¹. Calculer la matrice A′ de φ dans B′ et sa puissance
En déduire
3) Application : on donne les trois suites réelles ( ), ( ) et ( ) définies par les relations de

récurrence
Montrer que si on pose alors et en déduire que
Utiliser le calcul de pour calculer les termes généraux de

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