Examen Algèbre | Base - Combinaison linéaire

Thèmes :

Exercice 1: Rang / Matrice / Pivots / Dimension / Transposée / Combinaison linéaire / Espace vectoriel
Exercice 2: Sous espace vectoriel / Rang / Dimension / Base / Somme directe / Vecteur

Extrait :

Examen Algèbre | Base – Combinaison linéaire

Exercice 1. Soient m, n entiers naturels.

1) Quelles sont (en fonction de m, n) les valeurs possibles r du rang d’une matrice à m lignes et
n colonnes ? Pour chacune de ces valeurs r, donner (sans fixer m, n) un exemple simple d’une
matrice A ∈ Mm,n de rang r.
2) Soit R ∈ Mm,n une matrice échelonnée réduite, de rang r (i.e. comportant r pivots), de
colonnes, de lignes
a) Quelle est la dimension de Vect( ${ C }_{ 1 },...{ C }_{ n }$ ) ?
b) Démontrer, par ailleurs, que la dimension de Vect( ${ L }_{ 1 },...{ L }_{ m }$ ) est r.
c) En déduire le rang de la matrice transposée ${ R }^{ t }$ ∈ Mn,m (dont les m colonnes sont les éléments ${ L }_{ 1 },...{ L }_{ m }$ de Rn)
3) Soient A ∈Mm,n et B = ${ A }^{ t }$ A ∈Mn,m.
a) Montrer que l’ensemble des combinaisons linéaires des m colonnes de B est égal à. En déduire que pour tout H ∈ GLm, les sous-espaces de engendrés respectivement par les colonnes de B et par celles de BH sont égaux.
b) En déduire que rang(A) = rang( ${A}^{t}$ ).
Indication : soit G ∈ GLm telle que GA soit échelonnée réduite, poser R = GA,H = ${G}^{t}$ , et utiliser que $(GA{ ) }^{ t }={ A }^{ t }{ G }^{ t }$
4) En déduire que le rang de A est égal à la dimension de l’espace vectoriel engendré par ses lignes.

Exercice 2.

Soient A,B ∈ les colonnes de celles de $B,F=Vect({ C }_{ 1 },...,{ C }_{ n })$ et $G=Vect({ C }_{ 1 }^{ ' },...,{ C }_{ n }^{ ' })$ les deux sous-espaces vectoriels de E correspondants, ${ r }_{ A },{ r }_{ B },{ r }_{ C }$ les rangs des matrices A,B,C.
1) Démontrer que la dimension de F + G est ´egale `a ${ r }_{ C }$ .
Désormais,
$A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 6 & 1 \\ 7 & 8 & 1 \end{matrix})$
, $B=(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix})$
2)
a) Extraire de ${ (C }_{ 1 },{ C }_{ 2 },{ C }_{ 3 })$ une base de F et en d´eduire ${r}_{A}$ .
b) Calculer de même ${r}_{B}$ .
c) Calculer de même ${r}_{C}$ .
d) En déduire la dimension de F⋂G.
e) La somme F + G est-elle directe ?
3) Vérifier que le vecteur
$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$
appartient à F⋂G, puis expliciter F⋂G (en utilisant sa dimension).