Examen Algèbre | Base – Combinaison linéaire

Thèmes :

Exercice 1: Rang / Matrice / Pivots / Dimension / Transposée / Combinaison linéaire / Espace vectoriel
Exercice 2: Sous espace vectoriel / Rang / Dimension / Base / Somme directe / Vecteur

Extrait :

Exercice 1. Soient m, n entiers naturels.

1) Quelles sont (en fonction de m, n) les valeurs possibles r du rang d’une matrice à m lignes et
n colonnes ? Pour chacune de ces valeurs r, donner (sans fixer m, n) un exemple simple d’une
matrice A ∈ Mm,n de rang r.
2) Soit R ∈ Mm,n une matrice échelonnée réduite, de rang r (i.e. comportant r pivots), de
colonnes, de lignes
a) Quelle est la dimension de Vect( ) ?
b) Démontrer, par ailleurs, que la dimension de Vect( ) est r.
c) En déduire le rang de la matrice transposée ∈ Mn,m (dont les m colonnes sont les éléments de Rn)
3) Soient A ∈Mm,n et B = A ∈Mn,m.
a) Montrer que l’ensemble des combinaisons linéaires des m colonnes de B est égal à. En déduire que pour tout H ∈ GLm, les sous-espaces de engendrés respectivement par les colonnes de B et par celles de BH sont égaux.
b) En déduire que rang(A) = rang( ).
Indication : soit G ∈ GLm telle que GA soit échelonnée réduite, poser R = GA,H = , et utiliser que
4) En déduire que le rang de A est égal à la dimension de l’espace vectoriel engendré par ses lignes.

Exercice 2.

Soient A,B ∈ les colonnes de celles de et les deux sous-espaces vectoriels de E correspondants, les rangs des matrices A,B,C.
1) Démontrer que la dimension de F + G est ´egale `a .
Désormais,

,
2)
a) Extraire de une base de F et en d´eduire .
b) Calculer de même .
c) Calculer de même.
d) En déduire la dimension de F⋂G.
e) La somme F + G est-elle directe ?
3) Vérifier que le vecteur

appartient à F⋂G, puis expliciter F⋂G (en utilisant sa dimension).

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