Examen Analyse | Continuité - TVI - Licence de Mathématique

Thèmes :

Exercice 1: Théorème des valeurs intermédiaires / Dérivabilité
Exercice 2: Règle de l’Hospital / Continuité / Limites
Exercice 3: Étude de Fonction
Exercice 4: Sous espace vectoriel / Base / Théorème de la base incomplète
Exercice 5: Calcul intégral / Primitive / Dérivabilité

Extrait :

Exercice 1 Cours
1. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaire.

2. A l’aide d’une intégration par parties. Calculer
$I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ artan }$

Exercice 2 Un calcul d’intégrale
1. Pour x ? $\left[ 0,\frac { \pi }{ 4 } \right]$ . Calculer l’intégrale $\int _{ 0 }^{ x }{ \left( 1\div { tan }^{ 2 }t \right) }$
2. Démontrer que pour tout t réel dans
$\left[ 0,\frac { \pi }{ 4 } \right]$
1 = 1 ÷ tan² t = 2
3. En déduire que pour tout réel
$\left[ 0,\frac { \pi }{ 4 } \right]$
x = tan x = 2x
Exercice 3 Etudes de fonctions
1. (a) On considère la fonction f définie par
$f(t)={ e }^{ t }-\left( 1\div \frac { 1 }{ 2 } -\frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } \right)$
Etudier les variations de f’
Montrer qu’il existe un unique réel a dans l’intervalle ]-1,0[ tel que f
f'(a) = 0.
En déduire les variations de f.
(b) On considère la fonction g définie par
$g(t)=ln\left( 1\div t \right) -\left( t-\frac { { t }^{ 2 }{ e }^{ -t } }{ 2 } \right)$
Montrer que
${ g }^{ ' }(t)=\frac { -tf(t) }{ \left( 1\div t \right) { e }^{ t } }$
Montrer qu’il existe un unique b dans l’intervalle ]— 1. 0[ tel que g′(b) = O.
Etudier les variations de g.
En déduire qu’il existe un unique c dans l’intervalle ]-1,0[ tel que g(c) = 0
(a) Montrer que pour tout t > 1, on a
(on pourra étudier la fonction
(b) On Considère la fonction h, définie par
$\begin{cases} h(t)=\frac { tlnt }{ t-1 } \\ h(1)=1 \end{cases}$
Montrer que h est continue en 1.
Calculer h(t) $h\left( \frac { 1 }{ t } \right)$ montrer en utilisant la question (a) que
$h(t)h\left( \frac { 1 }{ t } \right) \le 1$
(on pourra montrer que sur [1,+∞[
en étudiant les variations de i.
Exercice 4 Algèbre linéaire
On considère l’espace vectoriel réel E = ℝ³ on note B = {e₁, e₂, e₃} la base
canomque.
1. On considère les vecteurs
f₁ = e₁ – e₃, f₂ = e₂ – e₃, f₃ = e₁ – e₂ ÷ e₃
Montrer que la famille {f₁. f₂. f₃} forme une base de E.
Déterminer {f₃}
On considère l’endomorphisme u ℝ³ définit par
u(x,y,z)=(3x-2y-z-4x+y-3zx+y-2z)
Calculer u(e₁), u(e₂), u(e₃),
En déduire que la matrice de a dans la base B est
3. (a) Déterminer une base de Im u puis donner le rang …